W ostatniej części artykułu autor przedstawia m.in. przykłady obliczeń dokonywanych podczas projektowania na mapie elektronicznej.
W ostatniej części artykułu autor przedstawia m.in. przykłady obliczeń dokonywanych podczas projektowania na mapie elektronicznej.
Podstawowe zagadnienia z rachunku współrzędnych i przykłady obliczeń
Operowanie algorytmami, które reprezentują poszczególne ikony do pomiaru i obliczeń na mapie, jest realizacją rachunku współrzędnych, opartego na trygonometrii i geometrii analitycznej. Przypominamy podstawowe pojęcia i obliczenia za pomocą rys. 1 i współrzędnych pięciu punktów zamieszczonych w tabeli 1.
Tabela 1.
table.inside
{ width: 425;
font-size: 8pt;
border-collapse: collapse;
}th.inside
{text-align: center;
background-color: #c6d8e4;
padding-left: 4;
font-weight: bold;
padding-right: 4;
padding-top: 6;
padding-bottom: 6;
font-size: 8pt;
border-width: 1px;
border-style: solid;
border-color: #1d6492;
vertical-align: middle;
}
td.inside
{text-align: center;
padding-left: 4;
padding-right: 4;
padding-top: 6;
padding-bottom: 6;
font-size: 8pt;
border-width: 1px;
border-style: solid;
border-color: #1d6492;
vertical-align: middle;
}
Nr pkt. X Y
1
400.000
200.000
2
500.000
300.000
3
268.863
313.137
4
293.934
93.934
5
516.673
83.327
Podstawowymi zagadnieniami z rachunku współrzędnych są: funkcje trygonometryczne, funkcja odwrotna, azymut, przyrosty współrzędnych, współrzędne punktów (projektowanych lub mierzonych).
Przypomnienie funkcji trygonometrycznych w tym tekście uznał autor za niestosowne. Funkcją odwrotną do trygonometrycznej jest funkcja kołowa oznaczana symbolem arc. Przypomnijmy ją sobie na przykładach: jeżeli sin 30° = Vi, to arcsin Vi = 30° oraz jeżeli tg 45° = 1, to arctg 1 = 45°. W kalkulatorach funkcje odwrotne oznaczone są symbolami: sin.-1 = (arcsin); cos-1 = (arccos) i tg-1 = (arctg).
Azymutem z punktu początkowego (P) do punktu końcowego (K) na mapie do celów projektowych nazywamy kąt skierowany, liczony od osi północnej „x” w prawo. Na rys. 1 mamy 4 takie azymuty, które wyczerpują wszystkie warianty w poszczególnych ćwiartkach. Generalnie: A w I ćwiartce zawierają się od 0° do 90°; A w II ćwiartce – od 90° do 180°; A w III ćwiartce -od 180° do 270° i A w IV ćwiartce – od 270° do 360°. Osie współrzędnych reprezentowane są na mapach w postaci siatek kwadratów 100,00 mm x 100,00 mm. Osie na mapach mają odwrotny układ oznaczeń niż w matematyce oraz odwrotnie skierowane ćwiartki, co odpowiada zwyczajowi liczenia azymutów w prawo, zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Umiejętność obliczenia azymutu ze współrzędnych jest ważna, ponieważ dzięki niemu potrafimy obliczyć kąt ze współrzędnych trzech punktów (jeden z elementów do wytyczenia obiektu budowlanego metodą biegunową) i przyrosty współrzędnych będące etapem pośrednim do obliczenia współrzędnych końcowych projektowanych (i inwentaryzowanych) punktów obiektów budowlanych. Oto zależności pomiędzy kątami ostrymi „r” w poszczególnych ćwiartkach a azymutami:
AI = rI ;
AII = rII + 180° (200G);
AIII = rIII + 180° (200G);
AIV = rIV + 360° (400g)
Ogólnie, w każdym przypadku mamy tg r = ∆y/∆x. Stąd r = arctg ∆y/∆x. Aby rozpoznać, w której ćwiartce jest obliczany kąt „r”, należy przyjrzeć się znakom ilorazu przyrostów współrzędnych. I tak w pierwszej ćwiartce będziemy mieli +/+, w drugiej +/-, w trzeciej -/- i w czwartej -/+.
Korzystając z tabeli 1 i rys. 1, obliczmy dwa azymuty, w drugiej (A1-3) i czwartej (A1-5) ćwiartce, korzystając z jednej z opcji możliwej w każdym kalkulatorze z funkcjami, a mianowicie z opcji obliczeń w stopniach (D). Można oczywiście obliczać azymuty w gradach (G).
Przyrosty współrzędnych (∆y i ∆x) to charakterystyczne pojęcia z rachunku współrzędnych i są odpowiednikami przyprostokątnych w trójkątach prostokątnych z geometrii klasycznej. Oblicza się je odejmując odpowiednio od x i y punktów końcowych „K” x i y punktów początkowych „P”. (…)
JERZY GAJDEK
starszy wykładowca w Katedrze Geodezji im. Kaspra Weigla Politechniki Rzeszowskiej
Zamów
prenumeratę
Więcej – czytaj w „Inżynierze budownictwa”, lipiec – sierpień 2006.
